时间复杂度O(n^2)和O(nlog n)差距有多大？
0. 时间复杂度
接触到算法的小伙伴们都会知道时间复杂度（Time Complexity）的概念，这里先放出（渐进）时间复杂度的定义：
假设问题规模是\(n\)，算法中基本操作重复执行的次数是\(n\)的某个函数，用\(T(n)\)表示，若有某个辅助函数\(f(n)\)，使得
SRE实战 互联网时代守护先锋，助力企业售后服务体系运筹帷幄！一键直达领取阿里云限量特价优惠。\[ \lim_{n\rightarrow \infty}{T(n)/f(n)} = c \]
其中\(c\)为不等于零的常数，则称\(f(n)\)是\(T(n)\)的同数量级函数。记作\(T(n)=O(f(n))\)，称\(O(f(n))\) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
常见的时间复杂度有(表格越靠后表示越不理想)：
| 复杂度 | 名称 |
|---|---|
| \(O(1)\) | 常数阶 |
| \(O(\log n)\) | 对数阶 |
| \(O(n)\) | 线性阶 |
| \(O(n\log n)\) | 线性对数阶 |
| \(O(n^2)\) | 平方阶 |
| \(O(n^3)\) | 立方阶 |
| \(O(n^k)\) | \(k\)次方阶（\(k>3\)且\(k\in Z\)） |
| \(O(2^n)\) | 指数阶 |
例如，我们熟悉的插入排序（Insertion Sort）算法的时间复杂度是\(O(n^2)\)，而合并排序（Merge Sort）算法的时间复杂度是\(O(n\log n)\)
那么这些复杂度之间的差距是怎么样的呢？有些小伙伴会疑问，自己写的算法虽然是高复杂度但是也用的好好的，为什么要纠结于这个概念呢？
我们不妨来探索一下今天的问题:\(O(n^2)\)和\(O(n\log n)\)差距有多大？
1. \(O(n^2)\)和\(O(n\log n)\)差距有多大？
我们知道，插入排序（Insertion Sort）算法的时间复杂度是\(O(n^2)\)，而合并排序（Merge Sort）算法的时间复杂度是\(O(n\log n)\)，即当排序\(n\)个对象时，插入排序算法需要用时大约\(c_1n^2\)，而合并排序算法需要用时大约\(c_2n\log{n}\)，其中\(c_1\)和\(c_2\)都是正常数且与\(n\)无关，且往往\(c_1<c_2\)。
稍微利用初等数学的知识，可以知道，对于任何\(n>=2\)，比较约\(c_1n^2\)和\(c_2n\log{n}\)即比较\(c_1n\)和\(c_2\log{n}\)。由于我们已知
\[ c_1<c_2 \]
以及
\[ \log{n} < n \]
想要比较这两个值的大小，直观的看法就是比较两个不等式谁的差别“更多”。可以证明，当无论\(c_1\)和\(c_2\)差别多么显著，总存在充分大的\(N\)使得当\(n>N\)时，\(c_1n>c_2\log{n}\)。
在Introduction to Algorithms中，作者举了一个很有趣的例子：
假设针对同一排序问题，用一台很快的电脑A运行插入排序，用一台很慢的电脑B运行合并排序，问题规模\(n=10^7\)：
两台电脑的差别如下，为了使A比B优势显著，作者假设电脑A性能比B强1000倍，并且B运行的代码更低效、且编译器更差（导致需要运行更多的指令）：
| 电脑A | 电脑B | |
|---|---|---|
| 每秒运行指令数 | \(10^{10}\) | \(10^7\) |
| 需要运行的指令总数 | \(2n^2\) | \(50n\log n\) |
这样,A完成任务需要：
\[ \frac{2\cdot(10^7)^2}{10^{10}} = 20,000\quad seconds \]
而B完成任务需要：
\[ \frac{50\cdot 10^7\log 10^7}{10^{7}} \approx 1,163 \quad seconds \]
可以看到，在这样的大规模的问题下，即便B计算机与A差距巨大，最终也只用了20分钟左右就完成排序，而A却需要5.5小时来完成。时间复杂度的差距可见一斑。
3. 总结
算法时间复杂度的量级差异，也许在小规模的问题下，表现差别不大。但是时间复杂度高的算法，对问题规模的变化更加敏感，因而当问题的规模变得很大的时候，靠拥有高阶时间复杂度的算法来求解并不可靠！
(更新)我从网络上找到了一个直观的各个阶的复杂度的对比，大家不妨参考一下：
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Thomas H. Cormen, et al., Introduction to Algorithms Part I 1.2
http://www.bigocheatsheet.com
