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快速幂和快速乘

1. 算法分析

1.1 快速幂

计算a ^ k % p
把k拆成二进制表示形式，比如k等于5的时候，k = (101)2 = c1 * 1 + c2 * 0 + c3 * 1
预处理a ^ c1, a ^ c2, ..., a ^ ct
这样计算a^k%p时,答案即为res = (a^c1) * (a^c3)

1.2 快速乘

a * (2 ^ 0) = (2 ^ 0) * a;
a * (2 ^ 1) = (2 ^ 1) * a;
a * (2 ^ 2) = (2 ^ 2) * a;
a * (2 ^ 3) = (2 ^ 3) * a;
...
a * (2 ^ k) = (2 ^ k) * a , res1 = (2 ^ k) * a;
a * (2 ^ (k + 1)) = (2 ^ k + 2 ^ k) * a, res2 = (res1 + (2 ^ k)) * a;

可以看出2的(k+1)次是在2的k次的基础上再加上2的k次
比如求 a * 13 % p = a*(1 * 1 + 2 * 0 + 4 * 1 + 8 * 1) % p
即第1为乘1，第2为乘0，第3为乘1，第4为乘1，要判断每一位是否为1，如果为1，才需要

2. 板子

  1. 快速幂
LL qmi(LL a, LL k, LL p)  
{
    LL res = 1 % p;  // res记录答案, 模上p是为了防止k为0，p为1的特殊情况
    while(k)  // 只要还有剩下位数
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;  // 判断最后一位是否为1，如果为1就乘上a，模上p, 乘法时可能爆int，所以变成long long
        k >>= 1;  // 右移一位
        a = (LL) a * a % p;  // 当前a等于上一次的a平方，取模，平方时可能爆int，所以变成long long
    }
    return res;
}
  1. 快速乘
// 快速乘（只能计算到a = 2^18, b = 2 ^ 18）
LL qmul(LL a, LL k, LL b)
{
    LL res = 0;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (res + a) % b;
        a = (a + a) % b;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
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