第一章 集合论基础
一、 直积运算
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集合在我们一进高中就已学过，其中我们掌握了集合的定义、集合间的关系，集合间的运算（交集，并集，补集，差集）。这里，我们学习一种新的运算，直积运算（笛卡尔乘积）。
首先，我们引入有序偶的概念。有序偶，是有先后次序的一对元素，常用$(a,b)$来表示元素$a$, $b$组成的有序偶。其中$a$，$b$分布叫作$(a,b)$的第一和第二坐标。
那么，直积运算可由有序偶定义。
定义 设$A$和$B$均为集合。$A$和$B$的直积集合$A\times B$是指有序偶的集合
$$C=A\times B=\{(a,b)| a\in A, b\in B\}.$$
直积运算在量子力学中的经常遇到，我们经常将宇宙拆分成我们所关心的系统和环境的直积。
二、 映射
映射的概念我们在高中也是熟悉的，下面来介绍一些新的概念。
定义 设$A_1\subset A$，且有两个映射$f: A\rightarrow B$和$g: A_1\rightarrow B$，此时如果对所有的$a_1\in A_1$，有$f(a_1)=g(a_1)$，那么称$f$为$g$到$A$的扩大，而$g$则为$f$到$A_1$的缩小，记为
$$g=f_{|A_1}$$.
定义 设$f: A\rightarrow B$，且$g: B\rightarrow C$，此时由$h(a)=g\left(f(a)\right)$与$a\in A$来定义映射$h:A\rightarrow C$，那么称$h$为$f$和$g$的结合，记作
$$h=g\circ f$$.
定理1.1 映射的结合运算满足结合律，即对$f\xrightarrow{f} B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{h} D$,有
$$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$$.
对于两个抽象的集合，我们要建立它们之间的联系，唯一手段就是映射。如果在在两集合间有一个完全的一一映射，那么我们说它们有相等的浓度。
与自然数或其真子集浓度相等的集合，被称为可数集，否则是不可数集。
定理1.2 如果集合$A$和$B$均为可数集，那么$A\cup B$, $A\times B$也均为可数集。
三、 关系
数学中的关系只有“有关系”和“没有关系”两种情况，并不存在中间的灰色地带。集合$A$上的一个关系$\sim$，是一种法则，利用它可判定任意$a,b\in A$组成的有序偶$(a,b)$是满足某种条件，此时称$a,b$有关系，记作$a\sim b$；若不满足这一条件，则称$a,b$没有关系，记作$a\nsim b$.
定义 一个以有序偶为元素的集合$R$被称为一个关系。当且仅当
$$\forall x\in R \Rightarrow \exists a,b,\left( x=(a,b)\right)$$.
即$a$和$b$有关系时，记作$(a,b)\in R$或$aRb$;而当$a$和$b$没有关系时，记作$(a,b)\notin R$.
定义 集合$X$上的关系$\sim$，若满足
(i) $\forall a\in X$，有$a\sim a$ (自反性)
(ii) $a\sim b$ & $b\sim a$ $\Rightarrow a=b$
(iii) $a\sim b$ & $b\sim c$ $\Rightarrow a\sim c$
则称$\sim$是一个次序关系，可以用$\leq$表示。 如果集合$X$有次序关系，则称它是一个有序集合，记作$(X,\leq)$.
注意我们熟知的数域$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$均为有序集合，复数域$\mathbb{C}$除外。
下面我们介绍一种最为重要的一种关系，等价关系。
定义 集合$A$上定义的关系$\sim$，若满足
(i) 自反： $\forall a\in A$，有$a\sim a$.
(ii)对称： $a\sim b\Rightarrow b\sim a$.
(iii)传递： $a\sim b,\, b\sim c\Rightarrow a\sim c$.
则称$\sim$是一个等价关系。
等价关系的重要性在于它与集合的分类有密切联系。
定义 $X$的一个分类或分割是指满足下列条件的一个集合族$u\subset P(X)$:
(i) $A,B\in u\Rightarrow A=B$或$A\cap B=\emptyset$.
(ii) $\cup_{A\in u}A=X$.
可以明显看出，“属于同一类”这一关系是个等价关系，因此由一个集合的分类可以确定它的一个等价关系。同理，我们把彼此等价的元素放在一起，也构成一个集合的分类。
定理1.3 集合$X$的一个分类可以确定它的一个等价关系。反之，每一个等价关系可以确定它的一个分类。因此，也把类成为等价类。
把$A_a$称为由$a$确定的等价类，称$a$是$A_a$的一个代表。若$a\sim b$，则有$A_a=A_b$，即等价类可以由其中的任一元素做代表。
定义 设$\sim$是集合$X$上的 一个等价关系，而$\{A_a\}$是由它确定的一个分类，我们称把由各等价类$A_a$作为元素而构成的集合称为由$X$按照$\sim$而得到的商集合，记为
$$u=X/\sim=\{A_a|a\in X\}$$.
如果定义$f(a)=A_a$，则映射$f$被称为$X$到它的商集合$u$上的自然映射。
